Rotation Matrix

性质和结论

从B frame相对于A frame的旋转矩阵的转置即为A frame相对于B frame的旋转矩阵，同时等于其逆矩阵： $${}_B^{A}R{=}_A^B{A}^T{=}_A^B{A}^{-1}$$ 旋转矩阵可以将一个点(P)从一个frame(B)变换到另一个frame(A)： $${}^{A}P{=}_B^{A}R{\cdot }^{B}P$$ 用坐标轴绕参考坐标系旋转角度来确定旋转矩阵： $$R_{Z_A}(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}c\theta & -s\theta & 0\\ s\theta & c\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$ $$R_{X_A}(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta \\ 0& sin\theta & cos\theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& c\theta & -s\theta \\ 0& s\theta & c\theta \end{array}\right]$$ $$R_{Y_A}(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}c\theta & 0& s\theta \\ 0& 1& 0\\ -s\theta & 0& c\theta \end{array}\right]$$ A表示A frame，参考坐标系，即世界坐标系，B表示Body frame，本地坐标系，即物体坐标系。

描述一个frame(B)相对另一个frame(A)的姿态： $${}_B^{A}R=\left[\begin{array}{ccc}|& |& |\\ {}^A{X}_B& {}^A{Y}_B& {}^A{Z}_B\\ |& |& |\end{array}\right]$$ 其中${}^A{X}_B$，${}^A{Y}_B$，${}^A{Z}_B$分别代表B frame各坐标轴在A frame投影的列向量。

Fixed Angles

针对空间中固定的坐标系XYZ进行旋转操作： $${}_B^A{R}_{XYZ}(\gamma ,\beta ,\alpha )=R_Z(\alpha )R_Y(\beta )R_X(\gamma )$$ $$=\left[\begin{array}{ccc}c\alpha & -s\alpha & 0\\ s\alpha & c\alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}c\beta & 0& s\beta \\ 0& 1& 0\\ -s\beta & 0& c\beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& c\gamma & -s\gamma \\ 0& s\gamma & c\gamma \end{array}\right]$$ $$=\left[\begin{array}{ccc}c\alpha c\beta & c\alpha s\beta s\gamma -s\alpha c\gamma & c\alpha s\beta c\gamma +s\alpha s\gamma \\ s\alpha c\beta & s\alpha s\beta s\gamma +c\alpha c\gamma & s\alpha s\beta c\gamma -c\alpha s\gamma \\ -s\beta & c\beta s\gamma & c\beta c\gamma \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$

先转的放在后面，转动的顺序（左乘）是不能互换的。

通过R推算Angles： $${}_B^A{R}_{XYZ}(\gamma ,\beta ,\alpha )=\left[\begin{array}{ccc}c\alpha c\beta & c\alpha s\beta s\gamma -s\alpha c\gamma & c\alpha s\beta c\gamma +s\alpha s\gamma \\ s\alpha c\beta & s\alpha s\beta s\gamma +c\alpha c\gamma & s\alpha s\beta c\gamma -c\alpha s\gamma \\ -s\beta & c\beta s\gamma & c\beta c\gamma \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$ $if\beta \ne {90}^{\circ }$ $$\beta =Atan2(-r_{31},\sqrt{r_{11}^2+r_{21}^2})$$ $$\alpha =Atan2(\frac{r_{21}}{c\beta },\frac{r_{11}}{c\beta })$$ $$\gamma =Atan2(\frac{r_{32}}{c\beta },\frac{r_{33}}{c\beta })$$ $if\beta ={90}^{\circ }$ $$\alpha =0^{\circ }$$ $$\gamma =Atan2(r_{12},r_{22})$$ $if\beta =-{90}^{\circ }$ $$\alpha =0^{\circ }$$ $$\gamma =-Atan2(r_{12},r_{22})$$

Euler Angles

Z-Y-X $$ 先转的放在前面，转动的顺序（左乘）是不能互换的。 对Fixed Angle以XYZ的顺序转动，相当于对Euler Angle以ZYX的顺序转动。 Euler Angle的正转和Fixed Angle的反转会得到相同的解。

刚体状态的表达

Homogeneous transformation matrix (4x4): $$ $$ 左上角为旋转矩阵，右上角为移动状态。

移动和转动复合运算： $$ $$

可连续操作： $$ "sequential transformation"

Mapping and Operator:

transformation matrix既有Mapping（把向量从一个frame转换到另一个frame下来看）的功能也可当作Operator对向量（或点）进行移动或旋转（在同一个frame）。

$$

Homogeneous transformation matrix的三种用法

1. 描述一个frame（相对于另一个frame）的空间状态。 $$
2. 将point由某一个frame的表达转换到另一个frame来表达。 $$
3. 将point(vector)在同一个frame中进行移动和转动。 $$

Transformation Matrix运算

逆矩阵：

$$

$$ 连续运算法则：

1. {B}对{A}的转轴旋转：用"premultiply"，先转的放在后面
2. {B}对{B}自身的转轴旋转：用"postmultiply"，先转的放在前面

links

機器人學一 (Robotics (1))